Invariances et symétries

Invariances des distributions de charges

Une distribution, illimitée dans la direction de l'axe Δ , est invariante par translation suivant Δ si, pour tout point M et son translaté M', sa densité de charge vérifie ρ ( M ) = ρ ( M ' ) .

exemple : distribution invariante par translation suivant Oz

ρ ( r , θ , z ) = ρ ( r , θ )

Une distribution, est invariante par rotation autour d'un axe Δ si, pour tout point M et M' obtenu après rotation, sa densité de charge vérifie ρ ( M ) = ρ ( M ' ) .

exemple : distribution invariante par rotation autour d'un axe Oz

ρ ( r , θ , z ) = ρ ( r , z )

Une distribution à symétrie cylindrique est telle que :

ρ ( r , θ , z ) = ρ ( r )

(invariance par rotation autour de Oz et invariance par translation suivant Oz)

Une distribution à symétrie sphérique est telle que :

ρ ( r , θ , ϕ ) = ρ ( r )

(invariance par rotation autour de e ϕ et invariance par rotation autour de Oz)

Plan de symétrie et plan d'antisymétrie

Une distribution est symétrique par rapport à un plan Π si, pour tout point M il existe un symétrique M', et si sa densité de charge vérifie :

ρ ( M ) = ρ ( M ' )

Une distribution est antisymétrique par rapport à un plan Π * si, pour tout point M il existe un symétrique M', et si sa densité de charge vérifie :

ρ ( M ) = - ρ ( M ' )

Conséquences pour le champ électrostatique

Nous généralisons les observations des cartes de champ :

E est transformé en son symétrique par un plan Π

E ( M ' ) = s y m E ( M )

d'autre part :

E ( M Π ) Π

E est transformé en son antisymétrique par un plan Π *

E ( M ' ) = - s y m E ( M )

E ( M Π * ) Π *

D'autre part, le champ électrostatique (effet) possède au moins les invariances des distributions de charges (cause).