Système isolé de deux points matériels

Si le système est isolé, F e x t 1 = 0 et F e x t 2 = 0 , alors F e x t = 0 , O e x t = 0 et 𝒫 e x t = 0

Lois de conservation

Conservation de la quantité de mouvement

p t = 0 p = m v G = c t e

Le référentiel barycentrique est donc galiléen.

Conservation du moment cinétique

L O t = 0 L O = c t e

et * étant en translation l'un par rapport à l'autre, on peut dériver indifféremment; comme L G * = L O - O G m v G

L G * t = L O t - v G m v G - O G m v G t = L O t

L G * t = 0 L G * = c t e

On aurait pu aussi appliquer le théorème du moment cinétique en G (fixe dans * ) dans * galiléen.

Conservation de l'énergie mécanique

E c t = 𝒫 i n t

Dans le cadre du programme les forces intérieures qui s'exercent entre M 1 et M 2 sont conservatives (par exemple interaction gravitationnelle ou électrostatique) :
E t = 0 E = c t e

et * étant en translation l'un par rapport à l'autre, on peut dériver indifféremment; comme E c * = E c - 1 2 m v G 2
E c * t = E c t - m v G . v G t = E c t = 𝒫 i n t = 𝒫 i n t * = - E p * t

E * t = 0 E * = c t e

Réduction du problème à deux corps à un problème à un corps

Mobile fictif - Masse réduite

Reprenons :
m 1 a 1 = F 2 1 m 2 a 2 = F 1 2

a = a 2 - a 1 = F 1 2 m 2 - F 2 1 m 1 = F 1 2 m 2 + F 1 2 m 1 = F 1 2 μ

avec 1 μ = 1 m 1 + 1 m 2 , μ appelé masse réduite :
a = a 2 - a 1 = d 2 O M 2 t 2 - d 2 O M 1 t 2 = d 2 M 1 M 2 t 2

Soit P appelé mobile fictif et défini par :
G P = M 1 M 2 = r e r

La relation μ a = F 1 2 peut donc être considérée comme le PFD appliqué dans le référentiel barycentrique ( a = a * et dérivation indifférente) à un mobile équivalent P de masse μ et soumis à une force F 1 2

En général, La force F 1 2 est conservative, portée par M 1 M 2 et ne dépend que de la distance relative entre M 1 et M 2
F 1 2 = F ( r ) e r

Tout se passe donc comme si le mobile équivalent P ressentait la force centrale conservative créée par le centre de force fixe G.

Eléments cinétiques

La quantité de mouvement totale dans * est nulle par définition de *
p * = m 1 v 1 * + m 2 v 2 * = 0

La vitesse du mobile fictif :
v = G P t = M 1 M 2 t = O M 2 t - O M 1 t = v 2 - v 1 = v 2 * - v 1 *

d'où :
v 1 * = - m 2 m 1 + m 2 v v 2 * = + m 1 m 1 + m 2 v

d'autre part, les relations m 1 G M 1 + m 2 G M 2 = 0 et G P = M 1 M 2 = G M 2 - G M 1 conduisent à :
G M 1 = - m 2 m 1 + m 2 G P G M 2 = + m 1 m 1 + m 2 G P

calculons alors l'énergie cinétique et le moment cinétique :
E c * = 1 2 m 1 ( - m 2 m 1 + m 2 v ) 2 + 1 2 m 2 ( + m 1 m 1 + m 2 v ) 2 = 1 2 μ v 2

L G * = G M 1 m 1 v 1 * + G M 2 m 2 v 2 *

= - m 2 m 1 + m 2 G P m 1 ( - m 2 m 1 + m 2 v ) + m 1 m 1 + m 2 G P m 2 m 1 m 1 + m 2 v

= G P μ v