Dynamique du système

Forces intérieures et forces extérieures

Décomposons F 1 en F e x t 1 + F 2 1 F e x t 1 est la force exercée par l'extérieur sur M 1 et F 2 1 la force exercée par M 2 sur M 1 .

De même F 2 = F e x t 2 + F 1 2

Les forces F 2 1 et F 1 2 s'exerçant entre M 1 et M 2 sont appelées forces intérieures au système, les autres forces étant les forces extérieures au système.

Théorème de la quantité de mouvement

ou théorème de la résultante cinétique

étant galiléen, on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique à M 1
p 1 t = F 1 = F e x t 1 + F 2 1

et à M 2
p 2 t = F 2 = F e x t 2 + F 1 2

en ajoutant membre à membre on fait apparaître la quantité de mouvement totale :
( p 1 + p 2 ) t = F 1 + F 2 = F e x t 1 + F e x t 2 + F 2 1 + F 1 2

en utilisant la troisième loi de Newton ou principe de l'action et de la réaction :
p t = F e x t

p est la quantité de mouvement totale et F e x t la résultante des forces extérieures qui s'exercent sur le système :
p = m 1 v 1 + m 2 v 2 = m v G

p t = m v G t = m a G = F e x t

Le mouvement de G est identique à celui d'un point matériel de masse m = m 1 + m 2 soumis à une force égale à la résultante des forces extérieures.

Théorème du moment cinétique

Soit O un point fixe de galiléen

Appliquons le théorème du moment cinétique en O à M 1
L O 1 t = O M 1 F 1 = O M 1 F e x t 1 + O M 1 F 2 1

et à M 2
L O 2 t = O M 2 F 2 = O M 2 F e x t 2 + O M 2 F 1 2

en ajoutant membre à membre on fait apparaître le moment cinétique total :
( L O 1 + L O 2 ) t = O M 1 F e x t 1 + O M 2 F e x t 2 + M 1 M 2 F 1 2

en utilisant la troisième loi de Newton ou principe de l'action et de la réaction :
L O t = O e x t

L O est le moment cinétique total en O et O e x t le moment résultant en O des forces extérieures qui s'exercent sur le système.

Etude énergétique

Théorème de l'énergie cinétique

étant galiléen, on peut appliquer le théorème de l'énergie cinétique à M 1
E c 1 t = F 1 . v 1 = F e x t 1 . v 1 + F 2 1 . v 1

et à M 1
E c 2 t = F 2 . v 2 = F e x t 2 . v 2 + F 1 2 . v 2

en ajoutant membre à membre on fait apparaître l'énergie cinétique totale :
( E c 1 + E c 2 ) t = F e x t 1 . v 1 + F e x t 2 . v 2 + F 2 1 . v 1 + F 1 2 . v 2

Contrairement aux deux cas précédents, il n'y a, a priori, aucune raison que les termes faisant apparaître les forces intérieures disparaissent :
E c t = 𝒫 e x t + 𝒫 i n t

E c est l'énergie cinétique totale, 𝒫 e x t la puissance des forces extérieures et 𝒫 i n t la puissance des forces intérieures.

Puissance des forces intérieures

Remarquons que la puissance des forces intérieures est indépendante du référentiel :
𝒫 i n t = F 2 1 . v 1 + F 1 2 . v 2 = F 1 2 . ( v 2 - v 1 ) = F 1 2 . ( v 2 * - v 1 * )

En particulier, pour un système rigide, 𝒫 i n t = 0

Energie potentielle - Energie mécanique

Si toutes les forces sont conservatives ou ne travaillent pas
E c t = - E p t

E p est l'énergie potentielle totale, alors l'énergie mécanique totale E = E c + E p se conserve.