Soit le système formé par deux points matériels M 1 de masse m 1 , de vitesse v 1 , soumis à des forces de résultante F 1 et M 2 de masse m 2 , de vitesse v 2 , soumis à des forces de résultante F 2
On notera m la somme m 1 + m 2
Par défaut, les vitesses et les accélérations sont calculées par rapport à un référentiel galiléen.

Eléments cinétiques

Eléments cinétiques dans

p = i p i = i m i v i = m 1 v 1 + m 2 v 2
est la quantité de mouvement totale ou résultante cinétique du système dans

L O = i L O i = i O M i m i v i = O M 1 m 1 v 1 + O M 2 m 2 v 2
est le moment cinétique total du système en O dans

E c = i E c i = i 1 2 m i v i 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2
est l'énergie cinétique totale du système dans

Centre de masse

Le centre de masse du système (ou encore centre d'inertie, centre de gravité, barycentre) est le point G défini par :
( m 1 + m 2 ) O G = m 1 O M 1 + m 2 O M 2
O étant un point quelconque de ;

si O = G
m 1 G M 1 + m 2 G M 2 = 0

Choisissons un point O fixe dans
v G = O G t = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2
est la vitesse du centre de masse G par rapport à

Référentiel barycentrique

Le référentiel barycentrique ou référentiel du centre de masse, noté * , est le référentiel en translation par rapport à dans lequel le centre de masse G est fixe (souvent pris comme origine de * ).

Attention : pour que * soit galiléen, il faut bien sûr que soit galiléen mais aussi que v G = c t e

* étant en translation par rapport à , on peut dériver indifféremment par rapport à ou * , la composition des vitesses s'écrit :
v = v * + v e = v * + v G
la composition des accélérations :
a = a * + a e = a * + a G

Eléments cinétiques dans *

Quantité de mouvement totale

p * = i p i * = i m i v i * = m 1 v 1 * + m 2 v 2 *
p * = m 1 ( v 1 - v G ) + m 2 ( v 2 - v G ) = 0

La quantité de mouvement totale du système dans * est nulle p * = 0

Moment cinétique total en G

L G * = i L G i * = i G M i m i v i * = G M 1 m 1 v 1 * + G M 2 m 2 v 2 *

L G * = ( G O + O M 1 ) m 1 v 1 * + ( G O + O M 2 ) m 2 v 2 *
= G O ( m 1 v 1 * + m 2 v 2 * ) + O M 1 m 1 v 1 * + O M 2 m 2 v 2 *
= 0 + O M 1 m 1 ( v 1 - v G ) + O M 2 m 2 ( v 2 - v G )
= O M 1 m 1 v 1 + O M 2 m 2 v 2 - ( m 1 O M 1 + m 2 O M 2 ) v G
= L O - O G m v G

Cette relation, qui sera étudiée en deuxième année, est appelée théorème de Koenig relatif au moment cinétique :
L O = L G * + O G m v G

Energie cinétique totale

E c * = i E c i * = i 1 2 m i v i * 2 = 1 2 m 1 v 1 * 2 + 1 2 m 2 v 2 * 2

E c * = 1 2 m 1 v 1 * 2 + 1 2 m 2 v 2 * 2
= 1 2 m 1 ( v 1 - v G ) 2 + 1 2 m 2 ( v 2 - v G ) 2
= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 - ( m 1 v 1 + m 2 v 2 ) . v G + 1 2 ( m 1 + m 2 ) v G 2
= E c - m v G 2 + 1 2 m v G 2
= E c - 1 2 m v G 2

Cette relation, qui sera étudiée en deuxième année, est appelée théorème de Koenig relatif à l'énergie cinétique :
E c = E c * + 1 2 m v G 2