Les vecteurs sont notés en gras.
Soient de masse et de masse
avec
On supposera que de masse est attiré par un centre de force fixe de masse
avec en prenant
Soient de charge et de charge
avec
On supposera que de charge et de masse est attiré ou repoussé par un centre de force fixe de charge et de masse
avec en prenant
remarque : si l'on compare les forces de gravitation et électrostatique qui s'exercent par exemple entre deux électrons
D'une manière générale, à l'échelle microscopique, les forces de gravitation sont négligeables devant les forces électrostatiques.
Force centrale si
conservative si
Pour les forces de gravitation et électrostatique que l'on appelle interactions newtoniennes
pour l'interaction gravitationnelle;
, pour l'interaction électrostatique, négatif si et de signe différent, positif si et de même signe.
Soit M de masse et de vitesse soumis à un champ de force centrale conservative créé par un centre de force O.
, et restent perpendiculaires à , et sont donc contenus dans le plan perpendiculaire à : le mouvement est plan.
Dans ce plan, choisissons les coordonnées polaires
comme
appelé intégrale première du mouvement, C constante des aires
L'aire balayée par le vecteur position pendant
La vitesse aérolaire
Les aires balayées pendant des durées égales sont égales ce qui explique l'accélération de M lorsqu'il se rapproche du centre de force et son ralentissement lorsqu'il s'en éloigne.
dérivant d'une énergie potentielle , l'énergie mécanique se conserve
appelé intégrale première du mouvement
L'énergie mécanique ne dépend plus que de et :
le terme est appelé énergie cinétique radiale
le terme est appelé énergie potentielle effective
Le terme cinétique étant positif, est la plus grande valeur que puisse prendre ; les valeurs de pour lesquelles sont donc inaccessibles.
Si , on parle d'état de diffusion
Si , on parle d'état lié
Le mouvement vérifie les propriétés générales du mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (planéité du mouvement, loi des aires, énergie potentielle effective) avec et
On peut alors montrer que la trajectoire du point M, repéré par ses coordonnées polaires a pour équation (en choisissant Ox axe de symétrie de la trajectoire)
On reconnaît l'équation d'une conique
si , M décrit une hyperbole
si , M décrit une parabole
si , M décrit une ellipse
si , M décrit un cercle
, état de diffusion, M ne peut pas s'approcher du centre de force à une distance inférieure à , cette position extrême s'appelle le péricentre.
La trajectoire correspondante correspond à une branche d'hyperbole.
, on observe encore un état de diffusion.
La trajectoire est encore une branche d'hyperbole.
Le cas particulier correspond à une trajectoire parabolique.
, état lié, la position de M correspondant à est appelée péricentre, celle correspondant à apocentre.
La trajectoire est elliptique.
Le cas particulier correspond à une trajectoire circulaire.
Ces lois historiques concernent les mouvements des planètes autour du Soleil, elles se généralisent à tous les mouvements à force gravitationnelle centrale.
Première loi : les planètes autour du Soleil décrivent des ellipses dont l'un des foyers est occupé par le Soleil.
Deuxième loi : le mouvement d'une planète obéit à la loi des aires.
Pendant des durées égales , le rayon vecteur balaye des aires égales où est la constante des aires liée à la planète considérée.
Troisième loi :
où est la période de révolution elliptique de la planète autour du Soleil, le demi grand-axe de la trajectoire elliptique et la masse du Soleil; la masse de la planète n'intervient pas.
La vitesse circulaire est la vitesse à communiquer initialement à un corps pour qu'il décrive une orbite circulaire de rayon autour d'un gros astre de masse :
La vitesse de libération est la vitesse à communiquer initialement à un corps pour qu'il échappe à l'attraction d'un gros astre de masse :